\documentclass[12pt, a4paper]{article}
\usepackage{geometry}
\geometry{
	a4paper,
	left=12.7 mm,
	right=12.7 mm,
	top=12.7 mm,
	bottom=12.7 mm,
}
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\usepackage{physics}
\usepackage{verbatim}
\graphicspath{ {./} }
\usepackage{ctex}
\usepackage{makecell}

\newcommand{\bvec}[1]{\mathbf{#1}}
\newcommand{\formula}[1]{\text{式} \ref{#1} }
\newcommand{\matrx}[1]
{
	\ensuremath
	{
		\left (
		\begin{matrix}
			#1
		\end{matrix}
		\right)
	}
}

\begin{document}
	\section{曲线}
	
	\begin{figure}[h]
		\centering
		\includegraphics[width=0.4\linewidth]{curve}
		\caption{参数空间与几何空间中的线段对应}
		\label{fig:curve}
	\end{figure}
	
	\begin{figure}[h]
		\centering
		\includegraphics[width=0.3\linewidth]{dr}
		\caption{曲线长度计算过程}
		\label{fig:dr}
	\end{figure}
	
	\footnote
	{
		参考：
		Thomas《微积分》，
		OpenStack Vector Calculus。
		本文使用AI辅助
	}
	首先，我们来讨论曲线。几何空间中的一条曲线 $C$ 可以通过一个参数方程及其参数 $\tau$ 来确定：
	\begin{equation}
		C: \bvec{r} = \left(x(\tau), y(\tau), z(\tau)\right)^T, \quad \tau \in (\tau_0, \tau_1)
	\end{equation}
	抽象地说，这建立了一个从参数空间中的一点 $\tau$ 到几何空间中的一点 $(x, y, z)^T$ 的一一对应关系。
	
	\subsection{曲线的长度}
	假设我们在参数空间中有一个小线段，它的端点是 $\tau_0, \tau_1$，且$\tau_1-\tau_0=\dd \tau$；
	那么几何空间中相对应的小线段的端点应该分别是
	$\bvec r_0 = (x(\tau_0),y(\tau_0),z(\tau_0))^T$与$\bvec r_1 = (x(\tau_1),y(\tau_1),z(\tau_1))^T$。
	那么，
	\begin{equation}
		\begin{aligned}
			\dd \bvec r &= 
			\bvec r(\tau_1) - \bvec r(\tau_0) \\
			&= \left(x(\tau_1)-x(\tau_0), y(\tau_1)-y(\tau_0), z(\tau_1)-z(\tau_0)\right)^T \\
			&\approx \left(x(\tau_0) + \pdv{x}{\tau} \dd \tau - x(\tau_0), y(\tau_0) + \pdv{y}{\tau} \dd \tau - y(\tau_0), z(\tau_0) + \pdv{z}{\tau} \dd \tau - z(\tau_0)\right)^T \qquad \text{Taylor 展开} \\
			&= \left(\pdv{x}{\tau}, \pdv{y}{\tau}, \pdv{z}{\tau}\right)^T \dd \tau \\
			&= \left(x'(\tau), y'(\tau), z'(\tau)\right)^T \dd \tau
		\end{aligned}
	\end{equation}
	注意其中$x'$等仍是关于$\tau$的函数，即$x'$可以不是定值。
	也就是说，在参数空间中的小线段$\dd \tau$对应几何空间的小线段$\dd \bvec r$：
	\begin{equation} \label{eq_drdt}
		\dd \bvec r = (x',y',z')^T \dd \tau
	\end{equation}
	在参数空间中长度为$\dd \tau$的小线段，
	对应到几何空间中应该长$\abs{\dd r}$：
	\begin{equation}
		\abs{\dd r} = \sqrt{(x')^2 + (y')^2 + (z')^2} \dd \tau
	\end{equation}
	从直观上说，我们可以想象折弯一根直铁丝，由于弯折过程各处的不均匀变形，原长为$\dd \tau$的小段在弯折之后长$\abs{\dd r}$了。
	
	为了求解曲线的长度，我们将在几何空间$x,y,z$中的积分转为在参数空间$\tau$进行。
	但在参数空间（“变形前”）中长$\dd \tau$的小线段在几何空间（“变形后”）中长$\abs{\dd r}$，因此我们需要乘上这个“比例系数”：
	\begin{equation}
		L = \int_C \abs{\dd {\bvec r}} 
		= \int_{\tau_0}^{\tau_1} \sqrt{(x')^2 + (y')^2 + (z')^2} \dd \tau
	\end{equation}
	
	\subsection{切线、法线、副法线、Frenet坐标系}
	\begin{figure}[h]
		\centering
		\includegraphics[width=0.4\linewidth]{curve1.1}
		\caption{曲线的切线、法线、副法线示意图。橙红：切线，蓝：法线，黄：副法线}
		\label{fig:curve1}
	\end{figure}
	
	如果我们改写\formula{eq_drdt}，我们会得到
	\begin{equation}
		\pdv{\bvec r}{\tau}
		= \left(\pdv{x}{\tau}, \pdv{y}{\tau}, \pdv{z}{\tau}\right)^T
	\end{equation}
	我们可以由此定义曲线的切向量：
	\begin{equation}
		\bvec t = \frac{\pdv{\bvec r}{\tau}}{\abs{\pdv{\bvec r}{\tau}}}
	\end{equation}
	我们还可以定义法向量（若$\pdv{\bvec t}{\tau}=0$，即曲线是直线段，那么没法如此定义）：
	\begin{equation}
		\bvec n = \frac{\pdv{\bvec t}{\tau}}{\abs{\pdv{\bvec t}{\tau}}}
	\end{equation}
	在这种定义下，$\bvec t, \bvec n$的长度总是1（单位向量）。
	此外可以证明$\bvec t, \bvec n$总是相互垂直,
	这是因为
	\begin{equation}
		\bvec t \cdot \bvec n 
		=  \frac{\bvec t \cdot \pdv{\bvec t}{\tau}}{\abs{\pdv{\bvec t}{\tau}}}
		=  \frac{\pdv{t^2}{\tau}}{2\abs{\pdv{\bvec r}{\tau}}}
		=0
	\end{equation}
	最后一步是由于$\bvec t$模长始终为1。
	最后，由于$\bvec t, \bvec n$相互垂直，我们可以通过叉乘引入第三个和他们两两垂直的向量，被称为副法向量：
	\begin{equation}
		\bvec b = \bvec t \times \bvec n
	\end{equation}
	总之，在曲线的某处我们可以定义三个相互垂直的单位向量，切向量$\bvec t$，法向量$\bvec n$与副法向量$\bvec b$。
	这三个单位向量在曲线局部定义了Frenet坐标系。在曲线不同位置，定义出的Frenet坐标系是不一样的。
	
	\subsection{曲率}
	曲率描述了曲线的“扭曲”程度，即$\bvec t$随$\tau$的变化率，曲率越大曲线约“弯”。
	显然，如果$\tau$的轻微变化就会导致$\bvec t$的大幅变化，那曲线必然是高度扭曲的。
	曲率的正式定义是：
	\begin{equation}
		\kappa = \frac{\abs{\dv{\bvec t}{\tau}}}{\abs{\dv{\bvec r}{\tau}}}
	\end{equation}
	这个计算并不容易，如果使用下文速度与加速度的语言，那么
	\begin{equation}
		\kappa = \frac{\abs{\bvec v \times \bvec a}}{\abs{\bvec v}^3}
	\end{equation}
	更直观的说法是曲率半径。与曲率相反，曲率半径越大，曲线约“直”：
	\begin{equation}
		R = \frac{1}{\kappa}
	\end{equation}
	若曲线某处的曲率半径为$R$，说明曲线该处的曲率等效于一个半径为$R$的圆弧的曲率。
	显然，圆越小，圆弧越弯；圆越大，圆弧越“平”（如果圆无限大，那么圆弧看起来就是直线段）。
	\textsl{打完这段字后我已经不认识“曲”字了。}
	
	
	\subsection{速度与加速度}
	我们还可以约定：
	\begin{equation}
		\bvec v
		= \pdv{\bvec r}{\tau}
		= \left(\pdv{x}{\tau}, \pdv{y}{\tau}, \pdv{z}{\tau}\right)^T
	\end{equation}
	如果$\bvec r$与曲线$C$对应物理中某个粒子的坐标与运动轨迹，而$\tau$是时间，那么这就相当于速度$\bvec v$的定义。
	如果这只是一条抽象的曲线，那么$\bvec v$就只代表某种助记符。
	自然地，我们有“加速度”（请非常小心这和上文“法向量”定义的微妙区别）
	\begin{equation}
		\bvec a
		= \pdv{\bvec v}{\tau}
		= \left(\pdv[2]{x}{\tau}, \pdv[2]{y}{\tau}, \pdv[2]{z}{\tau}\right)^T
	\end{equation}
	在物理中，上述Frenet坐标系可以被被用于简化曲线运动粒子的描述，
	可以证明，速度仅在切线方向上有分量，而加速度仅在切线方向和法线方向上有分量，
	这大概是牛顿力学运动学的第一课。
	鉴于我的牛顿运动学已经还给了老师，或许可以参考https://wuli.wiki/online/PCuvMo.html。
	
	
	\newpage
	
	
	\newpage
	\section{曲面}
	\begin{figure}[h]
		\centering
		\includegraphics[width=0.3\linewidth]{surf}
		\caption{参数空间与几何空间中的矩形对应}
		\label{fig:surf}
	\end{figure}
	
	\subsection{曲面的面积}
	随后我们来讨论曲面。
	几何空间中的一个曲面 $A$ 可以通过一组参数方程及其参数 $u,v$ 来确定：
	\begin{equation}
		A: \bvec r = \left(x(u,v),y(u,v),z(u,v)\right)^T
	\end{equation}
	这仍然建立了参数空间平面与几何空间曲面之间点的一一映射。
	
	假设我们在参数空间中有一个小矩形，它的顶点是
	$(u_0,v_0)^T$,$(u_1,v_0)^T$,$(u_0,v_1)^T$,$(u_0,v_0)^T$,
	且$\dd u = u_1-u_0, \dd v = v_1 - v_0$。
	那么几何空间中相对应的小矩形的端点应该分别是
	$(x(u_0,v_0),y(u_0,v_0),z(u_0,v_0))^T$, 
	$(x(u_1,v_0),y(u_1,v_0),z(u_1,v_0))^T$,...
	
	在参数空间中，这个小矩形是一个
	由边向量$\dd \bvec u = (\dd u,0)^T$与$\dd \bvec v = (0,\dd v)^T$围成的矩形。
	但是，几何空间中，相应的边是什么呢？
	这有些复杂，我们先来计算参数空间中 $\dd \bvec u$ 在几何空间中所对应的边：
	\begin{equation}
		\begin{aligned}
			\dd_u \bvec r &= 
			\bvec r(u_1,v_0) - \bvec r(u_0,v_0) \\
			&= \left(x(u_1,v)-x(u_0,v), y(u_1,v)-y(u_0,v), z(u_1,v)-z(u_0,v)\right)^T \\
			& = \left(\pdv{x}{u},\pdv{y}{u},\pdv{z}{u}\right)^T \dd u
		\end{aligned}
	\end{equation}
	也就是说，参数空间中$\dd \bvec u$的边，对应几何空间中$\dd_u \bvec r$的边。同理，
	\begin{equation}
		\dd_v \bvec r = (\pdv{x}{v},\pdv{y}{v},\pdv{z}{v})^T \dd v
	\end{equation}
	上二式更标准的写法是：
	\begin{equation}
		\pdv{\bvec r}{u} = \left(\pdv{x}{u},\pdv{y}{u},\pdv{z}{u}\right)^T,
		\pdv{\bvec r}{v} = \left(\pdv{x}{v},\pdv{y}{v},\pdv{z}{v}\right)^T,
	\end{equation}
	总之，在参数空间中一个由向量$\dd \bvec u$与$\dd \bvec v$围成的矩形，
	对应几何空间中一个由向量$\pdv{\bvec r}{u} \dd u, \pdv{\bvec r}{v} \dd v$围成的矩形。
	
	而我们知道，已知四边形的边向量，只需要计算叉乘（的绝对值）就能知道这个小四边形的面积，
	在参数空间中这个小矩形的面积显然是
	\begin{equation}
		\dd A_{uv} = \abs{\dd \bvec u \times \dd \bvec v }= \dd u \dd v
	\end{equation}
	几何空间中相对应的矩形面积是
	\begin{equation}
		\dd A_{xyz}
		= \abs{\pdv{\bvec r}{u} \times {\pdv{\bvec r}{v}}} \dd u \dd v
		= \abs{\pdv{\bvec r}{u} \times {\pdv{\bvec r}{v}}} \dd A_{uv}
	\end{equation}
	从直观上说，我们可以想象折弯一个铁片，由于弯折过程各处的不均匀变形，
	原面积为$\dd A_{uv}$的小面在弯折之后
	面积为$\dd A_{xyz}$了。
	
	
	要计算曲面的面积，我们将在几何空间$x,y,z$中的积分转为在参数空间$u,v$进行。
	在参数空间（“变形前”）中面积为$\dd A_{uv}$的小面积，
	对应到几何空间（“变形后”）中面积应该是$\dd A_{xyz}$
	因此我们需要乘上这个“比例系数”：
	\begin{equation}
		S = \int_A \dd {A} = \int \abs{\pdv{\bvec r}{u} \times {\pdv{\bvec r}{v}}} \dd u \dd v
	\end{equation}
	
	\subsection{曲面的法向量}
	\begin{figure}[h]
		\centering
		\includegraphics[width=0.4\linewidth]{surf1.1}
		\caption{曲面法向量示意图}
		\label{fig:surf1}
	\end{figure}
	
	上文我们论证了向量$\pdv{\bvec r}{u}, \pdv{\bvec r}{v}$是曲面上的一个小矩形的边长，
	那么垂直于这两个边的垂线，应该局部地垂直于曲面，即曲面的法向量是
	\begin{equation}
		\bvec n = \frac{\pdv{\bvec r}{u} \times \pdv{\bvec r}{v}}{\abs{\pdv{\bvec r}{u} \times \pdv{\bvec r}{v}}}
	\end{equation}
	
\end{document}
